私生女上戶口后，如果父親去世并且留下了遺產(chǎn)，她可以繼承遺產(chǎn)的法律權(quán)益，但是需要符合一些條件和程序。

首先，私生女必須證明自己的父親是她的生父。她可以通過提供相關(guān)證據(jù)如DNA鑒定報(bào)告、親屬關(guān)系證明等來支持自己與遺產(chǎn)人（父親）的親屬關(guān)系。

當(dāng)驗(yàn)明私生女與遺產(chǎn)人的親屬關(guān)系后，她可以向法院提出遺產(chǎn)繼承申請。在申請過程中，她需要提供父親的死亡證明、遺囑（如果父親有遺囑的話）、相關(guān)證據(jù)以及其他申請所需的文件。

在申請遺產(chǎn)繼承的過程中，法院會對遺產(chǎn)進(jìn)行調(diào)查和評估，確認(rèn)遺產(chǎn)的價(jià)值和種類。私生女需要在申請中證明自己對父親的依賴關(guān)系，包括經(jīng)濟(jì)上的依賴、精神上的關(guān)系等等，以證明她對父親的合法繼承權(quán)。

如果私生女的遺產(chǎn)繼承申請得到法院的支持，她將獲得她應(yīng)得的遺產(chǎn)份額。根據(jù)中國民法繼承法的規(guī)定，私生女擁有與合法子女相同的繼承權(quán)利，即可以繼承父親的財(cái)產(chǎn)。

值得注意的是，私生女在遺產(chǎn)繼承的過程中可能會面臨一些困難。例如，其他親屬可能會對她的繼承權(quán)提出異議或爭議，需要通過法律途徑解決。此外，遺產(chǎn)的分配可能還受到遺囑的制約，如果父親有合法的遺囑，遺囑上的指定繼承人將優(yōu)先于私生女。

總之，私生女上戶口后，如果她可以證明與遺產(chǎn)人的親屬關(guān)系，并且符合法律規(guī)定的繼承條件，她有權(quán)繼承父親的遺產(chǎn)。但具體的繼承程序和法律細(xì)節(jié)可能因地區(qū)而異，請咨詢當(dāng)?shù)貙I(yè)律師或相關(guān)法律機(jī)構(gòu)以獲取準(zhǔn)確和詳細(xì)的信息。